“加名字”的核证逻辑

2019-10-18 作者:产品测评   |   浏览(61)

核证逻辑开始于20世纪90年代的“证明逻辑”,后者是为直觉主义逻辑提供算术语义的一个部分。根据哥德尔的一个推理结果,直觉主义逻辑嵌入到S4,由于哥德尔不完全性定理,S4的必然性算子不能作为算术中的形式可证性;但根据哥德尔1938年的一个推理想法,S4的必然性可以看作“显式”可证性谓词。这一思想在20世纪90年代被阿逖莫夫独立发现,成为建立证明逻辑系统的动机,模态算子被一族显式“证明项”所替换。阿逖莫夫证明的“算术完全性定理”表明,S4可嵌入到证明逻辑,而证明逻辑可嵌入到形式算术。所有这些一起为直觉主义逻辑提供了一个算术语义学。“核证逻辑”是把证明方法论内部化的模态逻辑新分支。

可能世界语义学

在最早发表于1991年的一篇讲演“二十世纪的逻辑与哲学”①中,乔治·亨利·冯赖特称“逻辑学一直是我们时代哲学的显著标识”。不过,他断言:“在新时期哲学发展的整个图景中,逻辑学不可能再继续扮演它在二十世纪所保有的那种重要角色。”②

模态逻辑是关于必然性和可能性的逻辑,或者说,是关于“一定是”和“可能是”的逻辑。必然性和可能性也可做其他解释:真势模态逻辑把必然解释为必然真;道义逻辑则把必然解释为道义必然性或规范必然性。必然也可以指“知道为真”或“相信为真”,这是认知逻辑的解释;如果指“总是为真”或“从此总是为真”,则是时态逻辑的解释。还可以把“必然p”解释为“p是可证的”。作为必然性和可能性的逻辑,模态逻辑不仅考虑事物实际存在方式的真和假,而且考虑“如果事物处在与实际存在方式不同的存在方式中,那么什么将是真的或假的”。如果一个人考虑到了事物在真实世界中的存在方式,那他或许也会考虑事物在可替代的、非真实即可能的世界中是如何地不同于真实世界中的存在方式。逻辑关注真和假,模态逻辑则关注真实世界和其他可能世界中的真和假。在这个意义上,一个命题在一个世界中是必然的仅当它在可能替代该世界的所有世界中为真,它是可能的则仅当它在可能替换该世界的某个可能世界中为真。

冯赖特为他的判断提出了两个理由。一是他发现一种对于文明社会的新的悲观情绪。其中的暗示是,从好的方面看,21世纪的哲学家将全神贯注于对启蒙之缺陷的批判,而无暇过多地顾及逻辑;从坏的方面看,他们将把逻辑视作他们正进行批判的东西的一个要素。或许可以说,尽管哥德尔和塔斯基在20世纪30年代的欧洲证明了最具哲学开创意义的结果,但这种结果本身立即就为文明悲观论提供了根据。

以此为基础来考虑模态逻辑有效性的可能世界语义学始于20世纪50年代晚期和60年代早期。可能世界是可能世界语义学的核心概念,模态逻辑历史中最主要的突破性进展是可能世界语义学的提出,由于简单、自然以及起源于哲学等特点,可能世界语义学一直是模态逻辑模型论研究的基本工具。

冯赖特的另一理由是这样的。在初创的无序时期,现代逻辑曾主要关注于具有重大哲学意义的基础性问题,但自20世纪30年代以来,它已进入规范科学时期,这时精确的专业化问题通过约定性的严格方法进行回答。基础性计划不再浮夸吹嘘。根据冯赖特,“经过如此转型的逻辑不再是哲学,而变成了科学。”③可以感觉到,这一说法在哲学与科学关系上预设了一种非必然的相互排斥的观念,其可能是基于一种过于理想化的科学概念。然而,冯赖特引自贝特兰·罗素的一段话是有先见之明的:“除开其发端时期外,数理逻辑……并非直接具有哲学的重要性。在发端时期过后,与其说它属于哲学,不如说它属于数学。”④与任何其他的数学工作相比,当代逻辑中的大多数工作(譬如以《符号逻辑杂志》为代表)并不具有更多的哲学意义。虽然数学严格性可以有很重要的哲学意义,但逻辑探究的方向现在更有可能是由数学兴趣而非哲学兴趣所确定的。⑤

可能世界的名字

尽管如此,如果逻辑变得不再具有哲学性,这并不意味着哲学就不再具有逻辑性。没有证据能够说,哲学家们平均运用逻辑方法或形式方法比过去少了。形式认识论上的新近发展显示出相反情况。更为一般地讲,通过形式化来检验论证乃是当代哲学中的标准做法。当然,这种方法不能盲目适用——它们具有限度,必须谨慎和明智地加以运用。但什么科学方法不是同样如此呢?

可能世界语义学与旧有的句法传统之间的对应并不完美,局部视角与标准模态语言的全局视角两者之间的不对称正是问题的来源。也就是说,在可能世界语义学中具有根本地位的可能世界并没有在模态句法中表现出来。这种不对称情形导致了许多并非我们需要的结果,比如,缺乏对许多语义特征的充分表示,缺乏合适的模态证明论。前者比较容易解释,因为标准模态语言没有一套机制来命名一个模型中的特殊“可能世界”、断定或否定可能世界的相等、表达从一个可能世界到另一个可能世界的可达性等。这些都属于模态模型论的核心问题,但在标准句法中表示不出来。可能世界语义学中框架的许多重要性质都以一种非常间接的方式被表达出来,而其他许多重要性质则干脆在标准模态语言中无法被表达。

冯赖特承认,“我们可以确信,逻辑学中也将永远地存在暗角,从而它必定永远有某个地方能受到哲学家的关注”。⑥但是,对于逻辑学在哲学上的无争议性所存在的挑战,现在远比冯赖特所设想的更具系统性。

模态逻辑的标准证明论的应用范围是非常有限的。普通证明方法应用到标准模态逻辑时的问题主要与下述事实有关:很难处理模态算子辖域内的信息。对于许许多多的模态逻辑来讲,存在着大量的非公理化的证明系统,但是在大量情况下,这些逻辑提供的都是对它们的形式化中所出现的问题的人为解决。一些所谓自然的系统只是某些特殊的逻辑的形式系统,难以进行一般化推广。因此,在标准模态逻辑中,与可能世界模型所成功提供的语义工作相比,句法方面并没有一种统一的架构可言。

一个自然而然的问题就是如何使得句法和语义相互一致起来。一种可能性就是在语言中为模型中的可能世界引入明显的句法表示。这样一种扩张可以为表达力提供足够的灵活性,不过也引发一个伴生的问题:以何种方式实现这一工作。至少可以有两种方向:外部方向和内部方向。外部方向是为逻辑语言引入新的元理论工具,模态逻辑中最流行的解决办法是为公式添加前缀。内部方向则是添加对象语言以及新的算子,对象语言的丰富通过对原子进行分类表达到。这就是混合逻辑所做的工作——在句法中为可能世界引进“名字”。

在逻辑变得更像科学而非哲学的过程中,一阶逻辑(当然是经典的非模态形式)开始拥有“标准逻辑”的地位。逻辑教科书传授一阶逻辑;它们却很少讲二阶逻辑,后者被边缘化了,被认为是奇异的。然而,弗雷格、罗素和怀特海以及1914年前其他人的逻辑系统都是高阶的。他们的一阶逻辑部分仅仅在反思时才能单独产生意义。有关一阶逻辑典范化的历史细节,存在着争论。⑦无疑,哥德尔1930-1931年的完全性和不完全性定理具有关键地位。它们显示,一阶逻辑具有可靠且完全的形式公理系统,而对于二阶逻辑,却不可能有一个可靠且完全的形式证明系统。在此意义上,一阶推理可变成纯形式的,而二阶推理却不可以。后来,蒯因对于一阶逻辑的特权提出一种著名的哲学辩护。他将二阶“逻辑”视作集合论的一种惑人外表,后者的本体论承诺可以通过其在一阶框架下的明晰公理化更为真实地显现出来。蒯因也不承认标准一阶逻辑的其他替代系统的逻辑地位,特别是模态逻辑等经典逻辑的扩充系统和直觉主义逻辑等非经典逻辑。⑧

混合逻辑是模态逻辑的一个崭新分支,不过起源可以追溯到20世纪50年代,只是重要性直到20世纪90年代才被认识到。混合逻辑的两个根本思想是:满足关系的内部化(此时的满足关系是相对而言的)、把命题划分为普通命题和名字。

蒯因的立场现在看来过于局限了。在数学上,他所否定具有逻辑地位的特定系统均为定义明确的结构,都可以通常的方式进行研究。在哲学上,将它们排除在外似乎是独断的,是无谓的争论。经典逻辑的某些扩充系统尤其是模态逻辑习惯上都被用作哲学讨论的逻辑背景。⑨现在有许多数学哲学家都深信,数学理论上适当的逻辑背景都是二阶的而非一阶的。最显著地,二阶算术充分表现了自然数结构,因为它的所有模型都彼此同构;然而,一阶算术及其任何一致的形式扩充却不具有我们想要的那种模型——它们所包含的成分通过有穷多次应用开始于零的后继运算却难以达到。⑩此外,有人做出专门论证来反对经典逻辑,支持某种非经典逻辑(多值逻辑、弗协调逻辑、直觉主义逻辑等等),以便对于说谎者悖论、谷堆悖论、有关无穷或未来的形而上学问题等等,给予令人满意的哲学解说。即使有谁反对这样的论证,他也不能根据找不到经典逻辑的一种真正替代系统就简单地拒斥它们。任何有效的回应必须涉及所讨论的提议的细节。

添加了这些内容之后,我们可以获得怎样的结果?尤其是,这样一来确实就比标准模态语言优越吗?这个问题在原子分类方面尤其有意思:众所周知,对一阶语言的变元进行划分并不会获得更多的表达能力,只是比标准单种类语言表述得稍微紧致、简单一点。但是,在模态语言中对变元进行分类将会真正改变表达能力从而获得更多的改进。因此,混合的模态语言主要是修复关系结构的元素与语言能力之间不对称性的一种工具。简而言之,混合语言的引入将有下述用处:获得更具表达力的语言;完全性理论中更好的表现;更自然、更简单的证明理论;可判定性、复杂性、内插性以及其他重要性质中的良好行为。

不同系统的这种无序如何与显然为科学而非哲学的逻辑本性相协调呢?答案在于元逻辑的地位。在正常情况下,所有这些系统都是在一阶非模态元语言下运用经典推理和集合论进行研究的。科学秩序在元层次上得以恢复。此类系统不仅在句法学和证明论上适于正常的数学研究方法,而且它们的模型论也是在经典一阶集合论内实现的。我们以模态命题逻辑为例来看。

关于获得更具表达力的语言,直接的字面意思就是说在扩张后的语言所表述的逻辑中将会有更多的有效式,但更为重要的是,混合语言可以定义许多在标准模态语言中不能表达的框架性质。表达能力的提高有利于更为直接、更为完备的框架可定义性理论的建立。混合逻辑中获得的一般完全性理论也将比标准模态逻辑中相应的结果更为简单。模态逻辑的标准证明方法的应用比较复杂是因为很难处理模态算子辖域内的句子。在混合逻辑中,一些自然的工具如名字和满足算子可以处理这一问题。混合逻辑中的每一个模态化句子都可以分裂成几个部分,其中一些部分载有一个模型的结构信息,而一个部分直接为我们给出原先处于模态算子辖域内的句子。把复杂信息分解成较为简单部分的这一自然方式,容易使经典逻辑的非公理化方法移植到模态逻辑。因此,混合逻辑更为丰富的语言为模态证明论提供了更为一般且统一的句法背景。

对于模态逻辑来说,决定性的技术突破是“可能世界”语义学的发展。其主要定义是关于模态命题逻辑的模型以及模型内真。根据标准,模型是任意四元组,其中W是一非空集,@是W中一元素,R是一在W上的二元关系(可理解为W元素有序对的集合),而V是由原子公式到W子集的函数。对于在给定模型中W元素w上一公式的真,递归定义。原子公式p在w为真,当且仅当w∈V。对于否定、合取之类的真值函项算子的规定显然是近乎重复的:对于任意公式A,A在w为真当且仅当A在w不为真;对于任意公式A和B,A & B在w为真当且仅当A在w为真并且B在w为真。对于可能和必然等模态算子的规定,分别采用在W上的存在量化和全称量化:◇A在w为真,当且仅当A在某个使得R的x∈W为真;□A在w为真,当且仅当A在任一使得R的x∈W为真。一公式在模型为真,当且仅当它在@上相对于该模型为真。一公式在模型类C上有效,当且仅当它在C类的每一分子为真。

值得一提的是,在很多情况下,我们不必为语言表达能力的提高而付出代价。逻辑的一个非常重要的特征是它们的可判定性及判定程序的复杂性。那些可判定的模态逻辑经过混合化之后仍然是可判定的,而且通常的情况是复杂性也并没有被触动。

这些定义是以纯数学语言给出的。没有模态算子用于元语言,甚至也未用于在对象语言中对模态算子◇和□的规定。非形式地给出语义学,我们可以把W说成是世界集,把@说成是现实世界,把R说成是世界之间的相关可能性关系,但这些思想在形式定义中什么作用也没有。譬如,我们可以通过纯数学手段证明,公式(p &□p)对所有模型(其中R在W上是自返、对称和传递的)组成的类不是有效的。我们在证明时只需指定一个模型,其中:

可能世界语义学是模态逻辑最流行的语义学,也是最具哲学意义的语义学,在模态逻辑的对象语言中引入“可能世界的名字”作为一类原子命题,非但没有破坏模态逻辑的基础,反而提高了它的表达能力,具有深刻的理论意义和哲学意义。

W={0,1},@=0,R={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>},V={0}。如此,在该模型中,p &□p为真,因而(p &□p)不为真。根据可能是该对象语言的预期解释,这里显示:真并不就意味着必然性(至少对于此类模型来说),但也不是在提出一个偶然真理的例子:该模型乃纯抽象的数学结构,而且公式p在模型中0为真这一事实本身不是偶然的。有偏执的形而上学家认为,所有真理都是必然的,但他却在数学上保持正统,这样的人必定依然同意:公式p &□p在该模型中为真,但他会完全否认:该模型符合该对象语言的预期解释。实际上,在过去的50年间,有关模态逻辑的技术研究通过在其推理中消除所有模态因素已取得巨大进展。

构造核证逻辑系统

对于大卫·刘易斯(David Lewis)这样的所谓模态实在论者来说,凡模态者实际上都可化归为非模态者:在非模态语言中对于世界的量化,比起运用模态算子,能更为清楚地表现出潜藏的形而上学实在。现实世界只不过是众多世界中的一个,好比此处只不过是众多位置中的一个,它仅从其自身角度来看才具有特权。但是,大多数采用模态语言的哲学家都反对模态实在论,认为它完全不合情理;他们坚持认为,这一现实世界在客观上拥有一种特殊的形而上学地位。因此,就这一方面来说,运用模态算子,比起在非模态语言中对于世界的量化,能更为清楚地表现出潜藏的形而上学实在。根据这样的观点,形式模型论仍然起着辅助作用,它有助于证明:特殊的模态结论不可能由特殊的模态前提得来。此外,若考虑模态因素,我们可以指出,对于原子公式的任一给定的命题指派,总有一个模型,其中真公式与在该指派下根据联结词的预期解释为真的公式完全相符。由此可得出,对于某模型类,在该类中有效的公式与在对原子公式的每一命题指派下根据联结词的预期解释有效的公式完全相符。一旦合适的类得以确定(这还要求考虑模态因素),它就可用于对模态推理的检验。但这些应用并非形式模型论本身所固有,而且对于它的使用是纯粹工具主义的视角。

混合逻辑是内部化了的可能世界语义学的模态逻辑,而核证逻辑内部化了证明方法论。一个自然而然的问题是:是否具有核证逻辑形式的混合逻辑。也就是说,把“可能世界的名字”引入核证逻辑,在一个逻辑中既内部化语义学又内部化证明,把这两种思想组合到一个系统当中。这个方向开始于世界著名逻辑学家费汀在2010年的工作。我们的研究在其基础上构造了混合逻辑形式的核证逻辑系统,把语义学内部化和证明内部化统一在一个形式系统内,建立起混合核证逻辑的极小系统,提出适当的语义解释并给出完全性定理和实现定理的证明,从而解决了费汀提出来的未解决问题——混合核证逻辑的极小系统问题。

类似的现象出现在二阶逻辑上。其标准模型论是由一阶元语言加上集合论给出的:二阶变元涵盖一阶变元域的所有子集。像斯图尔特·夏皮罗(Stewart Shapiro)这样的二阶逻辑主要倡导者,以英语这一非形式元语言所运用的一阶量化涵盖属性、集合、关系或函数,其所属的语法范畴与我们在说“一阶变元涵盖定义域内诸个体”时所运用的完全相同。但二阶量化是在谓词位置上的量化,这与一阶量化在名称位置上的量化相对。夏皮罗为其所支持的二阶对象语言所提出的元语言是一阶的。

混合核证逻辑极小系统的建立对于混合核证逻辑这一族逻辑的研究具有重要意义,极小系统的发现意味着这一族逻辑中“最普遍真理”的发现。从哲学上来说,由一个名字命名的可能世界是一类“事实”,在维特根斯坦看来,“逻辑空间中的诸事实即是世界”,构成一个世界的诸事实必须要能被验证确实是构成了一个世界,这是建立并研究“混合的核证逻辑”的部分哲学意义。

至于非经典逻辑,它们的元理论通常也是运用经典推理实现的。以连续统值(continuumvalued)逻辑或模糊逻辑为例来看。它有时被提出作为模糊悖论的解决方案,因为需要用真之程度的连续统来追溯类似“她是孩子”这样的模糊语句何以由真经过连续性过程逐步转变成假。它还被提出作为类似说谎者悖论的语义悖论解决方案的一部分。命题逻辑的连续统值模型是由原子公式到实区间[0,1]分子之间的函数,其中1代表绝对真,0代表绝对假,而其他数字代表真之中间程度。该模型论的独特之处在于,它对作为成分公式真之程度的函数的复合公式的真之程度进行计算,是对二值真值表的一种概括。令v为A的真之程度。则:

(作者系中国社会科学院研究员,专著《可能世界的名字》入选《国家哲学社会科学成果文库》)

v

v(A & B)=最小值{v}

v=最大值{v}

v=1-),若v;否则为1。最后一条是说,条件句的真之程度应该小于绝对真,仅就从前件到后件出现真之程度亏损来说。一公式有效当且仅当它在每一模型下都为绝对真。我们现在可在数学上证明,排中律p∨p根据该语义学为非有效的。因为在其中v=0.5的一模型中,对于否定和析取的规定也使得v=0.5。这种模型论证明是运用经典逻辑和数学给出的。它完全不求助于模糊性、语义悖论或其他任何被认为引发由二值到连续统值语义学转变的现象。然而,根据此类模型论的提倡者,它所确证的公式与根据对具有潜在模糊或语义悖论的原子公式的每一解释为绝对真的公式全然相符。此例对于通常的非经典逻辑元理论非常典型。在这样的情形下,元语言中的经典推理根据近乎重复的语义规定得出结论:对象语言的某个经典原理为非有效。

有一种默示的蒯因主义似乎是在做元层次工作。任何对于经典一阶非模态逻辑的背离都被许可,因为它可在经典一阶非模态逻辑中给出一种模型论。其格言是:你尽可以在对象语言中背离传统,只要你在元语言中严守正统。这一态度甚至可以给人一种印象:逻辑上的差异仅仅是记法上的,或者至少是有点表面化的,因为我们在元语言中全都意见一致。既然当代数理逻辑大都是元逻辑,难怪它采用了约定性的、科学的方法。

底层次上多样性的语言和逻辑,与元层次上同一性的语言和逻辑,二者的这种组合到底有多么稳定呢?我们可以把经典一阶非模态元逻辑应用到不同于标准的经典一阶非模态逻辑的某种对象语言,来看看其牵强效果。

直觉主义逻辑提供了有关非经典元逻辑的一个最为细致研究的例子。与仅仅关注直觉主义逻辑的形式结构的古典数学家相比,处在布劳威尔和海丁传统的思想型直觉主义者(ideological intuitionists)否认排中律在论及无穷域时的有效性。在直觉主义逻辑的元理论中,所讨论的是该语言中的无穷域公式及无穷域证明。因此,思想型直觉主义者坚决否认排中律在他们元理论中的有效性。他们对这一点很看重,试图为直觉主义逻辑发展一种直觉主义元理论。

这里的情况是复杂的,因为直觉主义逻辑有多种并不等价的语义类型。然而,对于自然意义上的一阶直觉主义逻辑“解释”,至少有点类似于塔斯基模型论概念上的一阶经典逻辑解释,有着这样的情形。我们来看标准一阶语言。一公式为“直觉主义有效”,当且仅当它根据所指意义上的每一直觉主义解释下都为真。一公式为“直觉主义可证”,当且仅当它在该语言的标准直觉主义自然演绎系统中可证。可靠性是不成问题的:根据同时在经典意义上和直觉主义意义上可用的元理论推理,我们可证实每一直觉主义上可证的公式都是直觉主义有效的。完全性的问题正好颠倒过来。根据可用于经典意义上却不可用于直觉主义意义上的元理论推理,我们可证实每一直觉主义有效的公式都是直觉主义可证的。此外,我们根据可同时用于经典意义上和直觉主义意义上的元理论推理,可以证实:如果每一直觉主义有效的公式都是直觉主义可证的,则由此可得出一特定结论,这一结论在经典意义上有效却在直觉主义意义上极其不可信。因而,从直觉主义元理论的观点来看,有关一阶直觉主义逻辑的完全性定理看上去是错的,即便它在经典元理论中是可证的。

诚然,相对于一阶直觉主义逻辑的其他模型概念来说,其可靠性和完全性可通过同时用于经典意义上和直觉主义意义上的推理得到证实。但可疑的是,它们之间相对应犹如前述意义上的解释相应于思想型直觉主义关于对象语言表达式意义的本来意图。实际上,根据直觉主义逻辑在旧语义学上的不完全性,通过表明自身并不适于原有的预期意义,有些甚至可以解释新语义学上的完全性定理,因为如果在所有新模型中为真要求直觉主义的可证性,而根据所有直觉主义解释为真却并不要求,因而便可断定:根据所有直觉主义解释为真并不要求在所有新模型中为真。

我们换一个更为简单的例子:由于模糊性问题而提出的连续统值逻辑或模糊逻辑。对于经典元理论对其进行研究的通常程序,有一种明显的异议,即高阶模糊性。如果某人是孩子这一点是模糊的,那么同样模糊的是,区间[0,1]中的实数极好地度量出了她作为孩子的程度。因此,模糊性也涉及元语言,而如果对象语言的模糊性使得连续统值逻辑适于对象语言,那么由此类推,元语言的模糊性将使得连续统值逻辑也适于元语言。于是,连续统值逻辑学家不应该在元理论中信赖排中律及类似原理。对此,他们可能作如下回答:

我们必须区分开真理论与模型论。一种经过解释的语言的真理论,应该忠于非逻辑原子表达式的现有意义,因而高阶模糊性的问题确实产生了。但是,模型论从非逻辑原子表达式的现有意义进行抽象。它对于向它们进行的适当类型的各种语义值指派给予概括。更确切地,连续统值命题逻辑的模型只不过是由原子公式到区间[0,1]实数的任意函数。为了对这样的函数进行概括,我们只需要精确的数学和句法词汇;因而高阶模型性的问题并不产生。我们可以在模糊语言连续统值逻辑的模型论中合法地使用经典元逻辑。

这种答复的风险在于使得模型论与真理论间隙过大。根据一种模型论概念,逻辑真理在所有模型中为真,而逻辑后承在所有模型中保真。但是,逻辑真理应该是真的,真前提的逻辑后承也应该是真的。满足这些条件的最直接的方法就是拥有一个或更多个预期模型(intended models),它们相应于对象语言表达式的现有意义:一句子在一给定预期模型中为真,当且仅当它绝对地为真。由于逻辑真理是在所有模型中为真,特别地,它在预期模型中为真因而绝对地为真;对于逻辑后承,同样如此。根据一种级度论(degree-theoretic)概念,在预期模型中的真之级度等于它现有的真之级度。但是,如果连续统值逻辑的模型是上述答复所要求的那种纯数学结构,那么带有高阶模糊性的语言就不具有预期模型。答复者可能仍旧希望模型论通过某种不太直接的方式来实现工具主义目的,根据这一方式,在所有模型中为真蕴涵绝对地为真,在所有模型中保真蕴涵绝对地保真。但甚至是这样的希望也落空了。

这里有一个例子。若我们从经典元理论内部来研究连续统值逻辑,便可断定这样的公式为有效:

因为在任一给定模型中,要么v,此时v=1;要么v,此时v=1。两种情况下,都是v=1。级度论者在模糊语言中拒斥排中律p∨p的最初动机是,在临界的情形下,两析取项似乎都不是绝对真,而只在某中间级度上为真,这意味着,根据级度论者的概念,该析取命题并非绝对真,因为既然析取命题的真之级度是其析取项真之级度的最大值,析取命题的绝对真就要求至少有一析取项为绝对真。现假定p、q为不相联的临界情形,二者同时显示高阶模糊性。譬如,p可解释为“她是孩子”,而q解释为“这是谷堆”。正如我们可能完全不清楚是否她是孩子或这是谷堆一样,我们同样可能完全不清楚如何根据这是谷堆的级度来对她是孩子的级度作出定位,对于相应的真之级度来说,同样也如此。根据级度论者的术语,#的两析取项似乎不是绝对真,而仅仅在某中间级度上为真,这意味着#并非绝对真。因而,最初对于排中律的异议可推广至#,即使连续统值语义学通过经典推理蕴涵:#是有效的,是逻辑真理。#的问题还是会产生,我们来考察q为p的特别情形:

第一析取项是绝对真的,当且仅当p的真之级度至多为0.5;第二析取项是绝对真的,当且仅当p的真之级度至少为0.5;如果p是一种临界情形,对其提出的考虑意见是有些支持p有些反对p,则情况似乎是:不仅p的真之级度至多为0.5不是绝对真的,而且p的真之级度至少为0.5也不是绝对真的。有些考虑意见倾向于小于0.5的# #真之级度,另有些考虑倾向于大于0.5的# #真之级度,而它们之间如何相互平衡却仍全然不清楚。这样一来,连续统值逻辑的经典元理论若要想对模糊性进行原则性处理,就确证了级度论者必定加以拒斥的公式。

从哲学上看,级度论者显而易见的做法就是运用连续统值的元逻辑。然而,从技术上看,这一做法造成了严重问题。不仅仅是说,连续统值逻辑非常弱,要证明其中重要的元逻辑结论很可能是极其困难的,级度论者要在这方面作出尝试几乎不可能。甚至在原则上也不清楚如何解决最初有哪些原理在该逻辑中有效的问题,如果我们必须也在元语言中用到它的话。因为如果我们在一开始尚未知道该逻辑中某一原理的有效性,同样地我们就没有可以依赖的元逻辑原理来推演该逻辑之原理的有效性。因而,我们永远开始不了。或许可以试着做小而不要做大:一开始将经典逻辑作为我们的系统,然后把界定为其所有原理都可以采用作为元逻辑由连续统值语义学得到证实的系统,界定为其所有原理都可以采用作为元逻辑由连续统值语义学得到证实的系统,如此等等。排中律是在中,但不在中;#和# #将在和中,但可能不在中,因为需要用来证实它们的推理涉及类似元逻辑上的排中律的某种东西(它设定:或者v或者v。一般地,作为一种逻辑,将包括所有可由连续统值语义学运用作为元逻辑得到证实的原理。这一过程可在序数列上重复下去。随着下标数字的增大,可能会有原理亏损,却永远不会新增原理。最终,该过程将达到一固定点,使得。元语言中的这种逻辑通过对象语言的连续统值语义学将确证自身,因此它自然有希望成为原则性的连续统值逻辑。但还是很不清楚哪些原理属于该固定点的逻辑。实际上,虽然我们知道何种原理属于(其元逻辑是经典意义上的),但丝毫不清楚何种原理属于(其元逻辑是非经典的)。该固定点的逻辑很可能最后发现是极其弱的。然而,原则性的连续统值逻辑作为对于模糊性的一种处理只有被用作其自身的元逻辑,才算做出公正试验,不论它所要带领我们进入的领地是如何缺少勘察。

类似的现象对于一阶非模态逻辑的经典扩充系统也发生。我们以一阶模态逻辑中的巴坎公式为例:

◇x A非形式地看,它是说:如果可能有某种东西满足特定条件,那么就有某种东西可能会满足该条件。许多哲学家认为,BF存在着现实反例。譬如,伊丽莎白女王一世从未有孩子,但她本可以有的。根据BF,可得出:存在某种东西,它可能已成为伊丽莎白一世的孩子。但它是指什么呢?按照克里普克所坚持的现实起源的本质地位,现实中没有人可能会有伊丽莎白一世作为母亲。虽然现实中有某种原子集可能构成了伊丽莎白一世,但该集合不可能变得与她等同。根据这些哲学家,现实中没有任何东西可能已成为伊丽莎白一世的孩子。因而,BF是错的。再者,按照同一的必然性,BF意味着不可能有比现实情况更多的东西;而许多哲学家却认为宇宙在大小上是偶然性的。

克里普克指出了如何在可能世界语义学中对BF的反例构建模型。集合W中的每一元素w都关系到一个集合D,即w的定义域;一阶量化公式在w的值限于D。这样,xA在w为真,当且仅当,对于D的某元素o,A在w为真,o的值指派给变元x(所有别的变元值保持固定)。不同的元素w会有不同的定义域。非形式地看,w的定义域可视为存在于世界w的事物集合,但这在可能世界语义学中不起作用。为了构建在A为原子公式Fx时的反模型,我们需要构建在W的特指元素@上前件为真后件为假的一个模型。简单一点,我们来看这样一个模型,其中W所有的元素对属于关系R,这使得模态系统S5有效;非形式地看,每一世界都是相对于每一世界可能的,必然性和可能性并非本身为偶然之物。为证实BF的前件,可设定原子谓词F在世界w的外延包括对象o∈D。为否证BF的后件,可设定:o*∈D全都不在F在任一世界的外延中,由此可得,oD。通过形式化,这些条件可轻易地进行组合。譬如,令W={0,1},@=0,w=1,D={2},D={2,3};令F在0的外延为{},F在1的外延为{3}。那么,◇xFx在@为真,因为xFx在1为真;x◇Fx在@为假,因为◇Fx在@为假,x赋值为2即D的唯一元素。至此,模型论似乎与那些哲学家的直观完全相符。

现在,我们要试着把这样一个反模型用于该对象语言的预期解释。这样一来,W就不是一自然数对,而是一可能世界集合,而@是现实世界。D作为现实世界的定义域,是现存的一切事物之集合。BF的反模型要求有一对象o,它是某D的元素,因此并不是实际存在的对象。如此,在运用可能世界语义学的非模态元语言刻画反模型时,我们必定说:存在某种东西o,它在现实中并不存在。对于将实存问题视为处于该特殊时空系统的模态实在论者来说,这样的结果可能是满意的。不过,大多数反对BF的哲学家都不是模态实在论者。相反,他们认为,所有之物在相关意义上实际存在着。如此,在刻画BF的反模型时,他们必定这样说:存在某种东西,它并不存在。这是一种矛盾。所有BF的反模型都在现实世界对于对象语言量词比对于元语言量词作更为限制的解释。但是,对于BF所作的最具形而上学意义的解读并不包括这样的多余限制。如果有一个可能世界模型提供了这样一种对于对象语言的预期解释,那么BF成立。与第一印象相反,模型论对于BF何以会在对量词作无限制解读时失效并未提出任何解释。

这并不意味着,应该放弃反对对BF作无限制的解读。毋宁说,他们自然要采取的办法是,赋予可能世界模型论一种纯粹工具主义的作用。根据他们的观点,在某类的所有这样的模型中为真的公式可以与在某种别的意义上根据对模态算子、量词及其他逻辑常项的预期解释为有效的公式完全相符,但这并不是因为这些模型表示那些表达式的预期意义。对于这样的巧合,需要给出某种不太直接的论证。模态对象语言表达式的预期意义必须反映在模态元语言中。评价模态元逻辑原理的首要标准本身就会是模态的。根据非模态术语,不可能对于BF的失效作出任何解释。

在以模态元语言发展模态对象语言的语义理论方面,实际上已经做了少许工作。与非模态元语言的可能世界语义学相比,这是一件费力的活;甚至要证明极其简单的结果都很困难。然而,如果我们要对类似BF这样的模态原理作出公正评价,这样的工作就不得不去做。

有关涉及经典一阶非模态逻辑本身的例子,我们来看关于绝对无限一般性的逻辑,其中的一阶量词被强制解释为涵盖所有一切。鉴于集合论中的罗素悖论和布拉里-福蒂悖论,对这样的量化理论的合理性和融贯性有着激烈争议,但我在别处已对其作了捍卫。可以证明,对于标准一阶语言来说,一论证根据所有这样的无限制解释是保真的,当且仅当它在每一带有固定大小的无穷域的标准集合论模型中是保真的。因此,我们只要增加关于“至少有n个东西”的通常形式化作为新公理,便可给出一种可靠且完全的公理化。类似策梅罗-弗兰克尔集论这样的标准集合论有一个定理是说,并不存在大全集,因此任何固定大小的模型都不能对量词给出无限制的预期解释;然而,要根据无限制的量词解释对有效性给出外延上正确的刻画,并不需要更大的模型。

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